ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Элементы математической логики 5
§ 1. Высказывания и операции над ними 5
§ 2. Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования 7
§ 3. Некоторые приемы доказательства 8
§ 4. Метод математической индукции 10
Ответы к главе 1 11
Глава II. Множества и операции над ними 13
§ 1. Операции над множествами 13
§ 2. Целые, рациональные и иррациональные числа 15
§ 3. Степени и корни 17
§ 4. Логарифмы 21
§ 5. Суммирование 25
§ 6. Числовые неравенства 29
Задачи повышенной сложности к главе II 30
Ответы к главе II 33
Глава III. Функции 37
§ 1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции. 37
§ 2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям 39
§ 3. Свойства функций 40
§ 4. Графики функций 44
Задачи повышенной сложности к главе III 46
Ответы к главе III 48
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства .... 56
§ 1. Рациональные уравнения 56
§ 2. Рациональные неравенства 61
§ 3. Иррациональные уравнения 64
§ 4. Уравнения с модулем 67
§ 5. Иррациональные неравенства 69
§ 6. Неравенства с модулем 72
Задачи повышенной сложности к главе IV 74
Ответы к главе IV 76
Глава V. Тригонометрические формулы 84
§ 1. Тригонометрическая окружность 84
1. Градусная и радианная меры угла (84); 2. Точки тригонометрической окружности, соответствующие заданным числам, их декартовы координаты (84); 3. Пересечение и объединение числовых множеств, соответствующих точкам тригонометрической окружности (86); 4. Аналитическое задание дуг тригонометрической окружности (86).
§ 2. Синус, косинус тангенс и котангенс 88
1. Вычисление значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (88); 2. Определение знаков синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (90); 3. Сравнение и оценка значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (91); 4. Формулы приведения (91).
§ 3. Тригонометрические формулы 93
1. Зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла (93); 2. Формулы сложения (94); 3. Формулы кратных и половинных углов (96); 4. Формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму (98).
§ 4. Преобразование тригонометрических выражений 98
§ 5. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс .... 106
Задачи повышенной сложности к главе V 110
Ответы к главе V 111
Глава VI. Комплексные числа 117
§1. Определение комплексных чисел. Операции сложения и умножения 117
§2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деления комплексных чисел 118
§3. Геометрическое изображение комплексных чисел 120
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа 123
§5. Извлечение корня из комплексного числа 124
§ 6. Алгебраические уравнения 125
Задачи повышенной сложности к главе VI 127
Ответы к главе VI 128
Глава VII. Многочлены от одной переменной 131
§ 1. Основные определения 131
§ 2. Схема Горнера 133
§3. Теорема Безу. Корни многочлена 135
§ 4. Алгебраические уравнения 137
Задачи повышенной сложности к главе VII 139
Ответы к главе VII 140
Глава VIII. Системы алгебраических уравнений 143
Задачи повышенной сложности к главе VIII 149
Ответы к главе VIII 152
Глава IX. Предел и непрерывность функции 157
§ 1. Числовые последовательности и их свойства 157
1. Способы задания числовых последовательностей (157); 2. Исследование числовых последовательностей на монотонность (158); 3. Исследование числовых последовательностей на ограниченность (159).
§ 2. Предел последовательности 161
1. Определение предела последовательности (161); 2. Вычисление предела последовательности (163).
§ 3. Предел функции 167
1. Определение предела функции на бесконечности (167); 2. Вычисление пределов функции на бесконечности (168); 3. Определение предела функции в точке (169); 4. Вычисление предела функции в точке (170); 5. Различные типы пределов (171).
§4. Непрерывность функции 174
§ 5. Техника вычисления пределов 176
Задачи повышенной сложности к главе IX 177
Ответы к главе IX 178
Глава X. Степенная, показательная и логарифмическая функции 182
§ 1. Степенная функция 182
§ 2. Показательная функция 185
§ 3. Логарифмическая функция 187
§ 4. Показательные уравнения 190
§5. Показательные неравенства 193
§ 6. Логарифмические уравнения 195
§ 7. Логарифмические неравенства 198
§8. Смешанные уравнения и неравенства 201
Задачи повышенной сложности к главе X 204
Ответы к главе X 205
Глава XI. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 213
§ 1. Функции синус и косинус 213
§ 2. Функции тангенс и котангенс 218
§3. Обратные тригонометрические функции 221
§4. Первый замечательный предел 222
Задачи повышенной сложности к главе XI 223
Ответы к главе XI 225
Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства 232
§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения 232
§2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим путем замены переменной 236
§3. Метод разложения на множители. Типичные преобразования, используемые для упрощения тригонометрических уравнений 238
§4. Метод оценки левой и правой частей уравнения 243
§5. Отбор корней уравнений. Тригонометрические уравнения, содержащие знаки модуля, корни и логарифмы 244
§6. Решение тригонометрических уравнений с параметром 246
§7. Решение тригонометрических неравенств 248
§8. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции 250
Задачи повышенной сложности к главе XII 251
Ответы к главе XII 253
Глава XIII. Производная и дифференциал 262
§1. Определение производной. Производные функций хп, sin х, cos x 262
§2. Производные показательной и логарифмической функций 264
§ 3. Правила дифференцирования 265
§4. Производная сложной функции и обратных функций . 267
§5. Односторонние и бесконечные производные 268
§ 6. Дифференциал функции 269
§7. Геометрический и физический смыслы производной... 270
Задачи повышенной сложности к главе XIII 275
Ответы к главе XIII 276
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций 280
§1. Основные теоремы для дифференцируемых функций . 280
§2. Возрастание и убывание функции 281
§ 3. Экстремумы функции 282
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции 284
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба 291
§ 6. Построение графиков функций 292
Задачи повышенной сложности к главе XIV 294
Ответы к главе XIV 298
Глава XV. Первообразная и интеграл 309
§ 1. Первообразная функции 309
§ 2. Неопределенный интеграл 310
§ 3. Определенный интеграл 313
§4. Применение определенного интеграла к вычислению площадей 315
§5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам 319
Задачи повышенной сложности к главе XV 321
Ответы к главе XV 322
Глава XVI. Дифференциальные уравнения 327
§ 1. Основные понятия 327
§2. Уравнения с разделяющимися переменными 327
§3. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков с постоянными коэффициентами 329
Ответы к главе XVI 331
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов 333
§ 1. Показательные и логарифмические системы 333
§2. Тригонометрические системы 337
Задачи повышенной сложности к главе XVII 341
Ответы к главе XVII 343
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными 346
§1. Геометрическое описание решений уравнений, неравенств и систем с двумя переменными 346
§2. Аналитические приемы решений уравнений и неравенств с двумя переменными 350
§3. Использование геометрического подхода для решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными, содержащих параметры 351
Задачи повышенной сложности к главе XVIII 352
Ответы к главе XVIII 354
Глава XIX. Делимость целых чисел. Целочисленные решения уравнений 363
§ 1. Делимость чисел 363
§ 2. Сравнения 366
§3. Решение уравнений в целых числах 367
§4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными... 369
Задачи повышенной сложности к главе XIX 372
Ответы к главе XIX 373
Глава XX. Элементы комбинаторики 375
§1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 375
1. Правило произведения (375); 2. Правило суммы и формула включений и исключений (376); 3. Перестановки (377); 4. Перестановки с повторениями (377).
§ 2. Сочетания и размещения 380
§ 3. Комбинаторные соотношения 385
Задачи повышенной сложности к главе XX 386
Ответы к главе XX 387
Глава XXI. Элементы теории вероятностей 389
§ 1. Основные понятия теории вероятностей 389
1. Множество элементарных исходов эксперимента (389); 2. События и действия над ними (390); 3. Классическое определение вероятности (392); 4. Геометрическая вероятность (394).
§ 2. Сложение вероятностей 397
§3. Условная вероятность. Независимость событий 399
1. Условная вероятность (399); 2. Формула умножения вероятностей (400); 3. Независимые события (400); 4. Формула полной вероятности (401).
§ 4. Формула Бернулли 404
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 405
1. Понятие случайной величины (405); 2. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины (405); 3. Биномиальное распределение (406).
Задачи повышенной сложности к главе XXI 407
Ответы к главе XXI 408
Глава XXII. Разные задачи 412
§ 1. Текстовые задачи 412
§ 2. Многочлены от одной переменной 427
§ 3. Графики функций 429
§4. Задачи на координатной плоскости 432
§ 5. Задачи с параметрами 436
Ответы к главе XXII 441
Глава XXIII. Избранные задачи повышенного и высокого уровней сложности из вариантов ЕГЭ 444
§1. Преобразование и вычисление значений выражений... 444
§ 2. Функции 445
§3. Уравнения и системы уравнений 450
§ 4. Неравенства 453
§ 5. Текстовые задачи 455
Ответы к главе XXIII 456
Приложение Материал для подготовки к ЕГЭ 458
§1. ЕГЭ 2005 г 458
Часть 2 (459); Часть 3 (461).
§ 2. ЕГЭ 2006 г 462
Часть 2 (463); Часть 3 (464).
§3. ЕГЭ 2007 г 466
Часть 2 (467); Часть 3 (469).
§ 4. ЕГЭ 2008 г 470
